Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC=2 ，E是半圆 上一动点，连接AE、AD、DE． 填空：
①当 的长度是时，四边形ABDE是菱形；
②当 的长度是时，△ADE是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，

∴DB=DA=DC，

∵∠B=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，

而OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD=30°，

∴∠ODB=60°+30°=90°，

∴OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切线；

（2） π； π或π
【解析】（2）解：①∵△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=AD=CD= ，
在Rt△ODC中，OD= CD=1，
当DE∥AB时，DE⊥AC，
∴AD=AE，
∵∠ADE=∠BAD=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴AB=BD=DE=AE，
∴四边形ABDE为菱形，
此时 的长度= = π；
②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时 的长度= =π；
当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时 的长度= = π，
所以当 的长度为 π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为 π； π或π．

（1）连接OD，如图，利用斜边上的中线性质得DB=DA=DC，则可判断△ABD为等边三角形得到∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，然后计算出∠ODB=90°，从而根据切线的判定定理可判定BD是⊙O的切线；（2）解：①利用△ABD为等边三角形得到AB=BD=AD=CD= ，则可计算出OD= CD=1，当DE∥AB时，DE⊥AC，先证明△ADE为等边三角形，再证明四边形ABDE为菱形，然后利用弧长公式计算此时 的长度；②讨论：当∠ADE=90°时，AE为直径，利用弧长公式可计算出此时 的长度；当∠DAE=90°时，DE为直径，利用圆周角定理得到∠AOE=2∠ADE=60°，然后利用弧长公式可计算出此时 的长度．