Question

【题目】探究：

(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE

填空：

①线段BD、BE的数量关系为______．

②线段BC、DE的位置关系为______．

推广：

(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．

Answer 1

【答案】(1)①BD=CE；②BD⊥CE；(2)结论：(1)中的结论仍然成立，理由见解析；(3)满足条件的DE的值为或4．

【解析】

①由CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=45°，易证△CBD≌△CBE，即可得出BD=BE；

②由CD=CE即可得出BC⊥DE.

（2）由CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=α，易证△CBD≌△CBF，即可得出BD=BE，再由等腰三角形的性质得出BC⊥DE.

（3）分两种情况，根据三角形全等的性质及三角函数即可得出.

(1)如图①中，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠ECF=∠DCF=45°，

∵CD=CE，CB=CB，

∴△CBD≌△CBE(SAS)，

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分线段DE，

∴BC⊥DE．

故答案为BD=CE，BD⊥CE．

(2)结论：(1)中的结论仍然成立．

理由：如图②中，

∵CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，

∴∠ACM=∠BCM=α，

∵∠ECD=α，

∴∠ECF=∠DCF=α，

∵CD=CE，CB=CB，

∴△CBD≌△CBF(SAS)，

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分线段DE，

∴BC⊥DE．

(3)如图③中，

当△AFE≌△AMD时，AF=AM，

∵∠AFD=∠AMD=90°，

∵AD=AD，

∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL)，

∴∠DAF=∠DAM=30°，

∴∠DBA=∠DAB=30°，

∴DA=DB，

∵DF⊥AB，

∴∠BDF=60°，BF=AF=2，

∵BD=BE，

∴△BDE是等边三角形，

∴DF=EF=BFtan30°=，

∴DE=2EF=．

如图③-1中，当点D在AM的延长线时，易证AF=AM=2，DE=2DF=4．

综上所述，满足条件的DE的值为或4.