Question

【题目】如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC，

∴BD=CE．

（2）

①解：（i）、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE= = ，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴ = ，

∴ = ，

∴PB=

(ii)、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE= = ，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴PB= ，

综上，PB= 或 ．

②如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）

∵AE⊥EC，

∴EC= = = ，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD﹣PD= ﹣1．

如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC= = = ，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD+PD= +1．

综上所述，PB长的最小值是 ﹣1，最大值是 +1．

【解析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．