Question

【题目】如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．以上说法中正确的有_____．

Answer 1

【答案】①③

【解析】试题解析：如图

，

分别延长AE、BF交于点H．

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，

∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，

∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，

∴四边形EPFH为平行四边形，

∴EF与HP互相平分．

∵G为EF的中点，

∴G也为PH中点，

即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，

∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．

∵CD=12-2-2=8，

∴MN=4，即G的移动路径长为4．

故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；

∵G为EF的中点，∠EPF=90°，

∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确．

∴①③正确．

∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp=x，则四边形面积S=，

∴AP不断增大，

∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误．

④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，

∠EPF=90°，

AP=PE，BP=PF，

当AP=AC=2时，即PE=，PF=5，

S△PEF最小=PEPF=5，故④错误．

故答案为：①③．