Question

【题目】如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．

（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：；

（2）如图2，点P不是AC的中点，
①求证：PF=PD．
②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．

Answer 1

【答案】
（1）PF=PD
（2）

解：①证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PF，

∴PF=PD．

②解：以P为圆心，PB为半径作圆P，则点B、F、D都在圆P上，连接BD．

由圆周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，

又∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABC=2∠DBF，

∴∠DPF=∠ABC=40°．

【解析】（1）先根据菱形的对角线互相平分得出PB=PD，而由已知有PB=PF，则PF=PD；（2）①先由菱形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS证明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，则PF=PD；
②由于PB=PD=PF，以P为圆心，PB为半径作圆P，则点B、F、D都在圆P上，连接BD，则∠DPF=2∠DBF=∠ABC=40°．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．