Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函数 的图象经过对角线BD的中点M，与BC，CD的边分别交于点P、Q．

（1）直接写出点M，C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）线段PQ与BD是否平行？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵点M是线段B、D的中点，B（3，1），D（1，3），

∴点M的横坐标为： =2，点M的纵坐标为： =2，

∴点M的坐标为（2，2），

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与点C的横坐标相同，点C与点D的纵坐标相同即可求出C点坐标；

∴点C的坐标为（3，3）

（2）

解：设直线BD的解析式为y=kx+b，

∵B（3，1），D（1，3）在直线BD上，

∴ ，解得 ．

∴直线BD的解析式为y=﹣x+4

（3）

解：PQ∥BD．理由如下：

∵反比例函数 的图象经过M（2，2），

∴ ，解得m=4．

∴反比例函数的解析式为 ．

∵反比例函数 的图象与BC交于点P，

∴点P的横坐标为3，当x=3时， ．

∴点P的坐标为（3， ）．

同理点Q的坐标为（ ，3）．

∴CP=CQ= ．

∴∠CPQ=45°．

又∵∠CBD=45°，

∴∠CPQ=∠CBD．

∴PQ∥BD．

【解析】（1）直接根据中点坐标公式即可求出点M的坐标；再根据点B与点C的横坐标相同，点C与点D的纵坐标相同即可求出C点坐标；（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，由已知B（3，1），D（1，3），再把B、D两点的坐标代入即可求出k、b的值，进而得出结论；（3）先根据反比例函数y= 过点M（2，2）可求出m的值，由此可求出点P、Q两点的坐标，故可得出CP=CQ= ，即∠CPQ=45°，再由直线BD是正方形ABCD的对角线可知∠CBD=45°，故∠CPQ=∠CBD，进而可得出结论．