【题目】如图①，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图②所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设AE=x （cm）．

（1）求线段GF的长；（用含x的代数式表示）

（2）当x为何值时，矩形GHPF的面积S （cm2）最大？最大面积为多少？

（3）试问：此种包装盒能否放下一个底面半径为15cm，高为10cm的圆柱形工艺品，且使得圆柱形工艺品的一个底面恰好落在图②中的正方形GHMN内？若能，请求出满足条件的x的值或范围；若不能，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）30﹣x；（2）当x=15时，S最大=450；（3）15≤x≤30﹣5．

【解析】

试题分析：（1）AE=BF=x，据此即可利用x表示出等腰直角△EFG的斜边EF的长，然后利用三角函数求得GF的长；

（2）首先利用矩形的面积公式表示出面积S，然后利用二次函数的性质即可求解；

（3）首先求得与正方形各边相切的线段的长度，然后判断高小于或等于10cm即可判断，然后根据NG的长不小于30cm，高不小于10cm即可列不等式求得x的范围．

解：（1）∵AE=BF=x，

∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x．

∴在Rt△GEF中，GF=EF=×（60﹣2x）=30﹣x；

（2）∵NG=AE=x，即GH=NG=x，

∴S=x （30﹣x）=﹣2x2+60x

=﹣2（x﹣15）2+450；

∵﹣2＜0，

∴当x=15时，S最大=450；

（3）能放下．

理由是：当圆柱形工艺品与GHMN相切时，x=15，

此时，30﹣x=30﹣15×=30﹣30＞10，故一定能放下．

根据题意得：

解得：15≤x≤30﹣5．

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