Question

【题目】如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．

（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数；

（2）求证：PD=QD．

Answer 1

【答案】（1）58°；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：作PF∥BC交AC于F，先证明△APF是等边三角形，得出AP=AF=PF．证出PF=CQ，由ASA证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等即可．

试题解析：（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵∠Q=28°，

∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB﹣∠Q=32°，

∵PE⊥AC，

∴∠PED=90°，

∴∠EPD=90°﹣∠EDP=58°；

（2）证明：作PF∥BC交AC于F，如图所示：

∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，

∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，

∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，

∴△APF是等边三角形，

∴AP=AF=PF．

∵CQ=AP，

∴PF=CQ，

在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠CQD，PF=CQ，∠PFD=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），

∴PD=QD．