Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，

∴AD=DC= BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：连接DF，

∵AF∥BC，AF=BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S= ACDF=10．

【解析】（1）根据已知易证△AFE≌△DBE，得出AF=DB．根据D是BC的中点，得出DB=DC，从而证得AF=CD，可证得四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出一组邻边相等，即AD=DC，即可证得结论。
（2）先证明四边形ABDF是平行四边形，得出DF的长，根据菱形的面积等于对角线之积的一半，即可求得结果。