Question

【题目】已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．

（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A，B两点，求抛物线函数关系式；
（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；
（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：
①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A有两个公共点？
②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，

∴根据对称性可知h=5，

将B（10，10）代入y=﹣（x﹣5）2+k，可得10=﹣25+k，

解得k=35，

∴抛物线函数关系式为y=﹣（x﹣5）2+35；

（2）解：如图1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，

∴∠OAP=∠COD，

又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，

∴△AOP≌△OCD，

∴OP=CD=t，

∴CP=10﹣t，BD=10﹣t，

∵S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP，

∴当0≤t≤10时，S=10×10﹣ ×10t﹣ t（10﹣t）﹣ ×10（10﹣t）= t2﹣5t+50，

配方，得S= （t﹣5）2+ ，

∴当t=5时，Smin=

（3）解：①如图，当点Q在⊙A上时，连接AQ，

∵PQ=12+t，PR=BC=10，

∴RQ=2+t，

又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，

∴Rt△ARQ中，t2+（t+2）2=102，

解得t1=6，t2=﹣8（舍去），

∴当t=6时，点Q落在⊙A上；

如图，当P在CB上时，CQ与⊙A相切，

当点P与点C重合时，t=10；当点P与点B重合时，t=20；

∴当0≤t＜6或10≤t≤20时，线段PQ与⊙A只有一个公共点；

当6≤t＜10时，线段PQ与⊙A有两个公共点；

②如图，当6≤t＜10时，AR=t＜10，

∴⊙A与直线PQ相交，

又∵AP2=AO2+OP2=100+t2，即AP＞10，

∴点P在⊙A外，

又∵AQ2=AR2+RQ2=t2+（t+2）2，r2=100，

∴AQ2﹣r2=t2+（t+2）2﹣100=2（t+1）2﹣98，

∴当6≤t＜10时，2（t+1）2﹣98≥0，

∴点Q在⊙A上或⊙A外，

综上所述，当6≤t＜10时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．

【解析】（1）根据正方形的性质和二次函数的对称性可求出h=5，再把B的坐标代入解析式可求得；
（2）先证明△AOP≌△OCD可得OP=CD=t，从而可表示出CP和BD，根据S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP可得S与t的关系式，从而求出S的最小值；
（3）①先求出点P与点C重合、与点B重合时的t的值以及Q落在圆A上时的t的值，结合题意可得t的取值范围；
②由题意易得圆A与直线PQ相交和点P在圆外，在证明点Q在圆上或圆外即可.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的最值和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．