Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径

（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB= ，AE=4，求CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：BC与⊙O相切．

证明：如图连接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O的切线

（2）解：∵BC是⊙O切线，

∴∠ODB=90°，

∴∠BDE+∠ODE=90°，

∵AE是直径，

∴∠ADE=90°，

∴∠DAE+∠AED=90°，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∴∠BDE=∠DAB，

∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△DBE

（3）解：在Rt△ODB中，∵cosB= = ，设BD=2 k，OB=3k，

∵OD2+BD2=OB2，

∴4+8k2=9k2，

∴k=2，

∴BO=6，BD=4 ，

∵DO∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴CD= ．

【解析】（1）结论：BC与⊙O相切，连接OD只要证明OD∥AC即可．（2）欲证明△ABD∽△DBE，只要证明∠BDE=∠DAB即可．（3）在Rt△ODB中，由cosB= = ，设BD=2 k，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出k，再利用DO∥AC，得 = 列出方程即可解决问题．本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．