Question

【题目】已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴正半轴交于点C，tan∠CAB= ．

（1）求抛物线的解析式并验证点Q（﹣1，3）是否在抛物线上；
（2）点M是线段AC上一动点（不与A，C重合），过点M作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于点N，试判断当MN为最大值时，以MN为直径的圆与y轴的位置关系并说明理由；
（3）已知过点B的直线y=x﹣1交抛物线于另一点E，问：在x轴上是否存在点P，使以点P，A，Q为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△AOC中，∠COA=90°，AO=4，tan∠CAB= ，

∴OC=2．

∴C（0，2）．

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），将点C的坐标代入得：﹣4a=2，解得a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ ×（x2+3x﹣4），即y=﹣ x2﹣ x+2．

当x=1时，y=﹣ ×（﹣1）2﹣ ×（﹣1）+2=3．

∴点Q（﹣1，3）在抛物线上

（2）

解：如图1所示：

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得： ，

解得：k= ，b=2．

∴直线AC的解析式为y= x+2．

设点M的坐标为（m， m+2），则点N（m，﹣ m2﹣ m+2）．

∴MN=﹣ m2﹣ m+2﹣（ m+2）=﹣ （m+2）2+2．

∴当m=﹣2时，MN的最大值为2．

∴以MN为直径的圆的半径为1．

又∵以MN为直径的圆的圆心到y轴的距离为2，

∴以MN为直径的圆与y轴相离

（3）

解：如图2所示：过点E作ED⊥x轴，垂足为D，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F．

将y=x﹣1与y=﹣ x2﹣ x+2联立，解得：x=﹣6，y=﹣7或x=1，y=0，

∴点E的坐标为（﹣6，﹣7）．

∴BD=ED=7．

又∵∠EDB=90°

∴∠EBD=45°．

同理∠QAF=45°．

∴∠EBD=∠QAF=45°．

∴∠QAD=135°，90°＜∠EAB＜135°．

∴点P只能在点A的右侧．

依据两点间的距离公式可知：EB=7 ，AQ=3 ，AB=5．

当△QAP′∽△ABE时，则 ，即 = ，解得AP′= ，

∴OP′= ﹣4= ．

当，△AQP∽△BEA时，则 ，即 ，解得：AP= ，

∴OP=5﹣ = ．

∴点P的坐标为：（ ，0）或（﹣ ，0）

【解析】（1）依据锐角三角函数的定义可求得OC=2，从而得到点C（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后依据点Q的坐标是否符合抛物线的解析式可知点Q是否在抛物线上；（2）先求得直线AC的解析式，设点M的坐标为（m， m+2），则点N（m，﹣ m2﹣ m+2），然后列出MN的长度与m的函数的关系式，利用配方法可求得MN的最大值以及此时m的值，然后依据d和r的关系可判定出以MN为直径的圆与y轴的位置关系；（3）过点E作ED⊥x轴，垂足为D，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F．先求得点E的坐标，然后可证明△DBE和△AQF均为等腰直角三角形，故此在△BAE和△AQP中，∠QAP=∠ABE，然后依据两点间的距离公式求得EB、AQ，AB的长，然后分为△QAP′∽△ABE、△AQP∽△BEA两种情况求解即可．