Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2 ，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2 ， 解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴ ，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为： = ，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ×3×4﹣ ×4×（ ×3）= =3.6，所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，
故选：D．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．