Question

【题目】在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．

（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1 ， 求线段EF1长度的最大值与最小值的差．

Answer 1

【答案】
（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠BB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠A1CB1=∠ACB（旋转角相等），

∴∠BB1C=∠A1CB1，

∴BB1∥CA1，

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF=CF，

∵cos∠ABC=0.6，AB=5，

∴BF=3，

∴BC=6∴B1C=BC=6

∵CE⊥AB，

∴BE=B1E= ×6= ，

∴BB1= ，CE= ，

∴AB1= ，

∴△AB1C的面积为： =

（2）解：如图3，

过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值．

此时在Rt△BFC中，CF=4.8，

∴CF1=4.8，

∴EF1的最小值为4.8﹣3=1.8；

如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1'，EF1'有最大值．

此时EF1'的最大值为EC+CF1'=3+6=9，

∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣1.8=7.2．

【解析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质可证得BB1∥CA1；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质、解直角三角形及三角形的面积公式，即可求得答案。
（2）此题转化到圆中求解，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，可求得EF1的最小值，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1'，求得EF1'的最大值，即可求得线段EF1的最大值与最小值的差。