Question

【题目】在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD和BC的中点，延长BA和CD分别交射线NM于点E和点F，若tan∠F= ， FC=FN，EN= ， 则EF=

Answer 1

【答案】1
【解析】解：连接BD，点K为BD的中点；连接KM、KN；延长MN至G点，使EG=EB，连接BG．
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN．
∵AB=CD，
∴KM=KN，
∴△KMN为等腰三角形，
∴∠KMN=∠KNM，
∵KM∥AB
∴∠BEG=∠KMN，
∵KN∥CD，
∴∠F=∠KNM
∴∠F=∠KNM=∠KMN=∠BEG，
∵FC=FN、EB=EG，
∴△EBG和△FCN均为等腰三角形，且△EBG∽△FCN．
∴∠G=∠C=∠FNC，
又∵∠BNG=∠FNC，
∴∠G=∠BNG，
∴△BGN为等腰三角形，
∴BN=BG，∠EBG=∠G，
∴BG=CN，∠EBG=∠FNC，
在△EBG和△FNC中 ，
∴△EBG≌△FCN（ASA），
∴EG=FN，
∴EF=NG，
过B点作GN的垂线BH交GN于H点．
由△BGN为等腰△可知，HN=HG，
∵tan∠F= ，
∴设BH=3a．
∴tan∠BEG=tan∠F= ，
∴EH=4a、BE=5a，
∴HG=HN=BE﹣EH=a，
∵EN=HE﹣HN=4a﹣a=3a，
∵EN= ， 所以3a= ，
∴a= ， EF=NG=2a=1，
所以答案是：1．


【考点精析】本题主要考查了三角形中位线定理的相关知识点，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能正确解答此题．