Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y=ax2+bx+c，

得 ，解得 ，

则抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）

解：设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点B，C坐标代入y=mx+n，

得 ，解得 ，

所以直线BC的解析式为y=﹣x+3．

设P点坐标为（t，t2﹣4t+3），则Q坐标为（t，﹣t+3），

∴PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，PQ的值最大，最大值为 ；

（3）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∵点M是对称轴与直线BC的交点，

∴将x=2代入y=﹣x+3，得y=﹣2+3=1，即M（2，1）．

∵PQ∥y轴，

∴∠PQB=∠OCB，

∴以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC．

①当△PMQ∽△OBC时，∠QPM=∠COB=90°，即PM⊥PQ，

∴yP=yM=1，

将yP=1代入y=x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3=1，

解得x1=2﹣ ，x2=2+ （舍去），

∴此时P（2﹣ ，1）；

②当△MPQ∽△OBC时，∠QMP=∠COB=90°，即PM⊥BC，

∴kPM= =1，

∴可设直线PM的解析式为y=x+d，

将M（2，1）代入y=x+d，

得2+d=1，解得d=﹣1，

∴y=x﹣1，

解方程组 ，得 ， （舍去），

∴此时P（1，0）．

综上所述，存在点P，使以点M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似，P点坐标为（2﹣ ，1）或（1，0）．

【解析】（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=﹣x+3．设P点坐标为（t，t2﹣4t+3），则Q坐标为（t，﹣t+3），那么PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，再利用配方法化为顶点式，即可求出PQ的最大值；（3）由PQ∥y轴，得出∠PQB=∠OCB，那么以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：①当△PMQ∽△OBC时，PM⊥PQ，yP=yM=1，易求P（2﹣ ，1）；②当△MPQ∽△OBC时，先求直线PM的解析式，再联立PM与抛物线的解析式，求出P（1，0）．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．