Question

【题目】已知，如图①，△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B、E重合），∠BAC=∠AED=90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF．

（1）问题发现
①如图①，线段OF与EC的数量关系为；
②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图②，OF与EC的数量关系为；

（2）类比延伸
将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明．

（3）拓展探究
将图①中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD= ，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）OF= EC；OF= EC
（2）

解：OF= EC．

证明：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，

∴AF= AD= AE，

在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，

如图1，

连接AO，

∴AO= AC，∠BAO=∠CAO=45°，

∵∠DAE=45°，

∴∠DAE=∠CAO，

∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO，

即∠DAO=∠CAE，

∵AE=AC，

∴AF=AO，

∴ = ，

∴△AFO∽△AEC，

∴ = = ，

∴OF= EC，

（3）

解：∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形，

∴AD=BC= ，

∴ED=AE=AB=AC=1，

△ACD为直角三角形时，分两种情况：

①当AD与AB重合时，如图2，

连接CD，

∵△ACD为直角三角形，AD⊥AC，

即将△ADE逆时针旋转45°，

∵AD= ，AC=1，

∴由勾股定理可得CD= = ；

②当AE与AC重合时，如图3，

△ACD为直角三角形，AC⊥CD，

即将△ADE逆时针旋转90°，此时CD=AC=1．

即：CD的长为 或1．

【解析】解：（1）①∵△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形，
∴AD=BC，
∵O为BC的中点，F为AD的中点，
∴AF=OC，
∵∠BAC=∠AED=90°，
∴AD∥BC，
∴四边形AFOC是平行四边形，
∴OF=AC= EC，
故答案：OF= EC；②如图，

∵AO= AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠CAO，
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO，
即∠DAO=∠CAE，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴ = ，
∴△AFO∽△AEC，
∴ = = ，
∴OF= EC，
故答案OF= EC
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．