Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）求点A坐标及抛物线的解析式．

（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3 （2）当t=或t=时，△PCQ为直角三角形 （3）t=2

【解析】（1）由抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，可求得点A的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，将点C代入即可求得答案；

（2）分别从∠QPC=90°与∠PQC=90°，利用cos∠QPC求解即可求得答案；

（3）首先设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，然后求得点Q的坐标，继而求得S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=（t﹣2）2+1，则可求得答案．

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，

∴点A坐标为（1，4），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，

把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，

解得a=﹣1．

∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）依题意有：OC=3，OE=4，

∴CE==5，

当∠QPC=90°时，

∵cos∠QPC=，

∴，

解得t=；

当∠PQC=90°时，

∵cos∠QCP=，

∴，

解得t=．

∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得： ．

故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，

∴Q点的横坐标为1+，

将x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．

∴Q点的纵坐标为4﹣，

∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=×2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1，

∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

“点睛”考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值，以及分类思想的运用．