Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

（1）求证：BF＝AC；

（2）求证：CE＝BF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．

（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，再由BF=AC，利用等量代换即可得结论.

（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD，

∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠CDA=90°，∠BEC=∠BEA=90°，

∴∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，

又∵∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA．

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

，

∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA），

∴BF=AC；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

在Rt△BEA和Rt△BEC中

，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA），

∴CE=AE，

∵CE+AE=AC，

∴CE=AC，

又由（1）知BF=AC，

∴CE=BF.