Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．

（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，连接OD，

∵⊙O与BC相切于点D，

∴OD⊥BC，

∵∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴∠CAD=∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠BAD，

∴AD平分∠CAB

（2）

解：①DF=DH，理由如下：

∵FH平分∠AFE，

∴∠AFH=∠EFH，

又∠DFG=∠EAD=∠HAF，

∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，

∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，

即∠DFH=∠DHF，

∴DF=DH．

②设HG=x，则DH=DF=1+x，

∵OH⊥AD，

∴AD=2DH=2（1+x），

∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，

∴△DFG∽△DAF，

∴ ，

∴ ，

∴x=1，

∵DF=2，AD=4，

∵AF为直径，

∴∠ADF=90°，

∴AF= =

∴⊙O的半径为

【解析】（1）连接OD．先证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根据OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠BAD，即可解答．（2）①DF=DH，利用FH平分∠AFE，得到∠AFH=∠EFH，再证明∠DFH=∠DHF，即可得到DF=DH．②设HG=x，则DH=DF=1+x，证明△DFG∽△DAF，得到 ，即 ，求出x=1，再根据勾股定理求出AF，即可解答．本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，本题涉及的知识点：两直线平行，等腰三角形的判定、三角形相似．
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和垂径定理，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可以解答此题．