Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0）

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出使△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请你求出其中一个点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），

把B（5，﹣5）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣5，

a= ，

∴y= （x+1）（x﹣6）= x2﹣ x﹣5

（2）解：存在，

如图1

分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，

设P（m， m2﹣ m﹣5），四边形PACB的面积为S，

则PM=﹣ m2+ m+5，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC，

= （﹣ m2+ m+5）（m+1）+ （5﹣ m2+ m+5）（5﹣m）+ ×1×6，

=﹣ （m2﹣4m+4）+

=﹣ （m﹣2）2+ ，

当m=2时，S有最大值为 ，这时 m2﹣ m﹣5= ×22﹣ ×2﹣5=﹣10，

∴P（2，﹣10）

（3）解：这样的Q点一共有5个，

①以A为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q1、Q4，则AQ1=AQ4=AB，

设对称轴交x轴于E，

y= x2﹣ x﹣5= （x﹣ ）2﹣ ；

∴抛物线的对称轴是：x= ，

∵A（﹣1，0），B（5，﹣5），

∴AB= = ，

∴AE= +1= ，

由勾股定理得：Q1E=Q4E= = ，

∴Q1（ ， ），Q4（ ，﹣ ）

②

以B为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q2、Q5，

∴Q2F=Q5F=AB= ，

过B作BF⊥Q1Q5于F，则Q2F=Q5F，

∵B（5，﹣5），

∴BF= ，

由勾股定理得：Q2F= = ，

∴Q5E= +5= ，

∴Q5（ ，﹣ ），

∵Q2E= ﹣5= ，

∴Q2（ ， ），

③连接Q3A、Q3B，

因为Q3在对称轴上，所以设Q3（ ，y），

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+5）2，

y=﹣ ，

∴Q3（ ，﹣ ）．

综上所述，点Q的坐标为：Q1（ ， ），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣ ）．Q4（ ，﹣ ）Q5（ ，﹣ ）

【解析】（1）抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣5）即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m， m2﹣ m﹣5），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．（3）分三种情况画图：①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q1和Q4，有两个符合条件的Q1和Q4；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q3，有一个符合条件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐标．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．