Question

【题目】如图，已知在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点．

（1）求证：；

（2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当________时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形是菱形，详见解析；（3）

【解析】

（1）求出AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AM＝DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；

（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE＝MF，得出平行四边形，求出BM＝CM，推出ME＝MF，根据菱形的判定推出即可；

（3）求出∠EMF＝90°，根据正方形的判定推出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵M为AD中点，

∴AM＝DM，

在△ABM和△DCM，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）答：四边形MENF是菱形．

证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，

∴NE＝FM，NE∥FM，

∴四边形MENF是平行四边形，

由（1）知△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分别是BM、CM的中点，

∴ME＝MF，

∴平行四边形MENF是菱形；

（3）解：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF＝90°，

∵△ABM≌△DCM，

∴∠AMB＝∠DMC＝45°，

∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，

∴AM＝DM＝AB，

∴AD＝2AB，

当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形．

故答案为：1：2．