Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（1，0）和点，与轴交于点，对称轴为直线＝1.

（1）求点的坐标（用含的代数式表示）

（2）连接、，若△的面积为6，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点为轴正半轴上的一点，点与点，点与点关于点成中心对称，当△为直角三角形时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）C(0,-3a)；（2）；（3）点Q的坐标为（4，0）或（9，0）.

【解析】试题分析：（1）由对称轴公共确定出b=-2a，再把A（-1，0）代入解析式即可得c=-3a，从而可得点C坐标；

（2）由抛物线的对称轴以及点A坐标可得点B坐标，从而得到AB长，再根据三角形的面积求得OC长，从而求得ａ的值，继而得到b、c的值，得到解析式；

（3）分情况讨论即可.

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线，

∴，得，

把点A（-1，0）代入，得，

∴，

∴C（0，-3a）；

（2）∵点A、B关于直线对称，∴点B的坐标为（3，0），

∴AB=4，OC=3a，

∵，∴，

∴a=1，∴b=-2，c=-3，

∴；

（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，

∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，

∴QC=QG，QA=QF= m+1，QO=QH= m，OC=GH=3，

∴QF= m+1，QO=QH= m，OC=GH=3，∴OF= 2m+1，HF= 1；

Ⅰ.当∠CGF＝90°时，

可得∠FGH＝∠GQH＝∠OQC，

∴，∴，∴，

∴，

∴Q的坐标为（9，0）；

Ⅱ.当∠CFG＝90°时，

可得， ，∴，∴，

∴，Q的坐标为（4，0），

Ⅲ.当∠GCF＝90°时，

∵∠GCF<∠FCO<90°，∴此种情况不存在，

综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．