Question

【题目】在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系： ．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

Answer 1

【答案】（1）AD=BE；（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°；（3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）直接写出答案即可．

（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．

（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．

试题解析：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，

∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，

∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD与△ECB中，

，

∴△ACD≌△ECB（SAS），

∴AD=BE，

（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．

证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形

∴EC=AC，BC=DC，

∠ACE=∠BCD=60°，

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；

在△ECB和△ACD中，

∴△ECB≌△ACD（SAS），

∴∠CEB=∠CAD；

设BE与AC交于Q，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°

∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，

则△PCH为等边三角形，

∴HC=PC，∠CHP=60°，

∴∠CHE=120°；

又∵∠APE=∠CPE=60°，

∴∠CPA=120°，

∴∠CPA=∠CHE；

在△CPA和△CHE中，

，

∴△CPA≌△CHE（AAS），

∴AP=EH，

∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．