Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE ， 求P点坐标． 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）

Answer 1

【答案】
（1）解：由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得 ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）解：令x=0，则y=3，

∴C（0，3），

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），

S△COE= ×1×3= ，S△ABP= ×4y=2y，

∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4× ，

∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，

解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，

∴P（2，3）．

【解析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．
【考点精析】利用二次函数的性质和二次函数图象以及系数a、b、c的关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．