Question

【题目】如图，抛物线y=x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；

（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；

（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x=2,45；（2）m=-1或2；（3）①6；②18．

【解析】试题分析：（1）把解析式转化成顶点式，或利用对称轴公式即可得该抛物线的对称轴，利用直线y=x+m与坐标轴的交点坐标即可求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分情况讨论，即直线PQ与x轴的交点落在OA的延长线上，OA上，AO的延长线上三种情况讨论m值.设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，，当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；当点B落在线段OA上时， ，由△OBE∽△ABF得， ，由对称轴求出A点坐标，再由比例式求出B点坐标，代入直线PQ解析式，即可求得m值；当点B落在线段AO的延长线上时，同理由比例式求出B点坐标，进而确定m值；(3)①由题意可过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，AD⊥PH，DQ=DH，PD＋DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，可得△PMH是等腰直角三角形，PH=PM，即当PM最大时，PH最大，显然当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，于是求得PH的最大值.即PD＋DQ的最大值；②上题求得PD+DQ的最大值为6．即PD+DQ ≤6，设PD=a，则DQ ≤6－a，所以PDDQ≤a（6－a）=－（a－3）2＋18，即当PD=DQ=3时求得PDDQ的最大值

试题解析：（1）∵y=x2－4x=(x－2)2－4，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∵直线y=x+m与坐标轴的交点坐标为(－m，0)，(0，m)，∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°.故答案为x=2；45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，OE>AF,S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，

，由△OBE∽△ABF得， ，∴AB=3OB，∴OB =OA，由y=x2－4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），代入y=x+m,∴1＋m=0，∴m=－1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，

同理可得OB =OA=2，∴B（－2，0），∴－2＋m=0，∴m=2，；综上所述，当m=－1或2时，S△POQ=S△PAQ；

（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，

可得△CHQ是等腰三角形，∵=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD＋DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+DQ ≤6，设PD=a，则DQ ≤6－a，∴PDDQ ≤a（6－a）=－a2＋6a=－（a－3）2＋18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PDDQ ≤18．；∴PDDQ的最大值为18．