Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H．证明△ADP∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HE时，CG的值最小，想办法求出CG即可．

如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H．

∵DG⊥PG，DH⊥AC，

∴∠DGP＝∠DHA，

∵∠DPG＝∠DAH，

∴△ADH∽△PDG，

∴，∠ADH＝∠PDG，

∴∠ADP＝∠HDG，

∴△ADP∽△DHG，

∴∠DHG＝∠DAP＝定值，

∴点G在射线HF上运动，

∴当CG⊥HE时，CG的值最小，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADH+∠HDF＝90°，

∵∠DAH+∠ADH＝90°，

∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，

∴FD＝FH，

∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，

∴∠FHC＝∠FCH，

∴FH＝FC＝DF＝3，

在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，

∴AC＝＝5，DH＝，

∴CH＝，

∴EH＝，

∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，

∴△CGF≌△HEF（AAS），

∴CG＝HE＝，

∴CG的最小值为，

故选：D．