Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3 ，求弦AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OC，如图，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴ = = ，

∴CD2=CBCA，

∴（3 ）2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA﹣BC=3， = = ，设BD= K，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，

∴k= ，

∴AD= ．

【解析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）由△CDB∽△CAD，可得 = = ，推出CD2=CBCA，可得（3 ）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3， = = ，设BD= K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解决问题．