Question

【题目】如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，

∴AC=AD，∵OC=OD，

∴OA⊥CD，

∴CD⊥OA，

∵CF是直径，

∴∠CDF=90°，

∴DF⊥CD，

∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M，

∵AC=6，AB=10，

∴BC= =8，

∴AD=AC=6，

∴BD=AB﹣AD=4，

∵BD2=BFBC，

∴BF=2，

∴CF=BC﹣BF=6．OC= CF=3，

∴OA= =3 ，

∵OC2=OEOA，

∴OE= ，

∵EM∥AC，

∴ = = = ，

∴OM= ，EM= ，FM=OF+OM= ，

∴ = = = ，

∴CG= EM=2．

【解析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；（2）过点作EM⊥OC于M，易知 = ，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；
【考点精析】掌握切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．