Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD为正方形， E为CD边上的一点，连接AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，延长EF（或FE）交直线BC于G。

（1）求证：DE+BG=EG；∠EAG=45°；
（2）AB=1，GF=m，FE=n，求m+n+mn的值;
（3）若AB=6，∠BAG=∠CEG,求GE.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，

∴△ADE≌△AFE,

∴AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，

∴∠EAG=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，

∴GE=GF+EF=BG+DE.

（2）

解：∵AB=1，GF=m，FE=n，则EG=m+n，CG=1-m，CE=1-n，

∵∠C=90°，

∴（1-m）2+（1-n）2=（m+n）2，

整理得：m+n+mn=1.

（3）

解：由（1）可得Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴∠BGA=∠FGA.

∵∠BAG=∠CEG,

∴∠BGA=∠CGE,

∴∠BGA=∠CGE=∠FGA= .

则∠BAG=∠CEG=30°,

∴BG= AB=2 ，

∴CG=AB-BG=6-2 ，

∴GE=2CG=12-4 .

【解析】（1）根据HL，Rt△ABG≌Rt△AFG，根据全等三角形的性质，及等量代换可解答；（2）在Rt△CEG中，由勾股定理可得CG2+CE2=EG2 ， 将入相应的m，n的代数式，即可求得；（3）易证得到∠BGA=∠CGE=∠FGA= .则∠BAG=∠CEG=30°,再根据含30°角的直角三角形的三边关系，求出相应边的长度.