Question

【题目】已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B.

(1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系___；

(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

(3)如图3,在(2)问的条件下,点E. F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数.

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）105°.

【解析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行解答即可；

（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；

（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

（1）如图1,∵AM∥CN，

∴∠C=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠A+∠AOB=90°，

∴∠A+∠C=90°，

故答案为∠A+∠C=90°；

(2)如图2,过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG=90°，

∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN∥BG，

∴∠C=∠CBG，

∴∠ABD=∠C；

(3)如图3,过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

由(2)可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，

设∠DBE=α，∠ABF=β，

则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，

∴∠AFC=3α+β，

∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°，

∴∠FCB=∠AFC=3α+β，

在△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，

可得 (2α+β)+3α+(3α+β)=180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组,解得α=15°，

∴∠ABE=15°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.