Question

【题目】如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO= ，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．

（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（3）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在Rt△AOB中，tan∠ABO= ，OA=2，

即 = ，

∴0B=4，

∴A（0，2），B（4，0），

把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得： ，

解得：b= ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+2，

设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得： ，

解得：k=﹣ ，e=2，

所以直线AB的解析式是y=﹣ x+2

（2）

解：过点D作DE⊥y轴于点E，

由（1）抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

即D的坐标为（ ， ），

则ED= ，EO= ，

AE=EO﹣OA= ，

S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB= ×（ +4）× ﹣ × ﹣ ×4×2=

（3）

解：由题可知，M、N横坐标均为t．

∵M在直线AB：y=﹣ x+2上

∴M（t，﹣ t+2）

∵N在抛物线y=﹣x2+ x+2上

∴M（t，﹣t2+ t+2），

∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，

∴MN=﹣t2+ t+2﹣（﹣ +2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

其中0＜t＜4，

∴当t=2时，MN最大=4，

所以当t=2时，MN的长度l有最大值，最大值是4

【解析】（1）求出OB，把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c和y=kx+e求出即可；（2）求出D的坐标，再根据面积公式求出即可；（3）求出M、N的坐标，求出MN的值，再化成顶点式，即可求出答案．