Question

【题目】已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanA=，CD⊥AB于点D，DE⊥AC，点F在线段BC上，EF交CD于点M．

（1）求CD的长；

（2）若△EFC与△ABC相似，试求线段EM的长．

Answer 1

【答案】（1）2.4（2）或

【解析】

试题分析：（1）由已知条件易求BC、AB的长，再根据△ACB的面积为定值即可求出CD的长，

（2）若△EFC与△ABC相似，则CE可以和BC为对应边，也可以和AC为对应边，所以此题要分两种情况讨论求出CF的长，再由△DEM∽△CFM即可求出不同情况下EM的长．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，tanA=，

∴BC=4，

∴AB==5，

∵CD⊥AB于点D，

∴AC×BC=AB×CD，

∴CD=2.4；

（2）∵CD⊥AB于点D，tanA=，AC=3，

∴AD=，

∵DE⊥AC，tanA=，

∴AE=，DE=，

∴CE=3﹣=，

若△EFC与△ABC相似，

则或，

解得：CF=或，EF=或，

∵DE⊥AC，BC⊥AC，

∴△DEM∽△CFM，

∴，

∴EM=或．