Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；

在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE

（2）解：判断FG=3EF．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

由题意知：△ADE≌△CDE

∴∠DAE=∠DCE，

则∠DCE=∠G，

∵∠CEF=∠GEC，

∴△ECF∽△EGC，

∴ ，

∵△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，

∵AE=2EF，

∴ = ，

∴EG=2AE=4EF，

∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．

【解析】（1）根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可证明；（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．