Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．

（1）若PE⊥BC，求BQ的长；

（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) BQ= ；（2）存在，t=4，详见解析.

【解析】试题分析：

(1)作AM⊥BC于M，PE交AC于点N，则△APN和△CEN是等腰直角三角形，把CE的长在PE上和在CM上用关于t的式子表示，即可得到关于t的方程，从而求解；

(2)根据AP=BE，列出关于t的方程求解.

试题解析：

（1）作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，

∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=BC=5，

∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，

∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，

∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，

∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，

∵CE=CQ-QE=2t-2，∴5-t=2t-2，

解得：t=，BQ=BC-CQ=10-2× = ；

（2）存在，t=4；理由如下：

若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，

则AP=BE，

∴t=10-2t+2，解得：t=4，

∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4.