Question

【题目】已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD= （a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠BCK，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK

（2）解：∵AB=a，AD= =BC，

∴AC= = =

∵BK⊥AC，∠ABC=90°，

∴在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得： AB×BC= AC×BK，

∴a× a= a×BK，

∴BK= a

（3）解：DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，

∵DE=6，

∴GE=6，

又∵F为EG中点，

∴EF= EG=3，

∵△BKC≌△DEA，

∴BK=DE=6，

∴EF= BK，且EF∥BK，

∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，

∴EF为△ABK的中位线，

∴AF=BF，

又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，

∴△AFD≌△BFH（AAS），

∴HF=DF=3+6=9，

∴GH=6，

∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，

∴∠AEF=∠DEA=90°，

∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，

∴∠AFE=∠DAE，

∴△AEF∽△DEA，

∴AE：ED=EF：AE，

∴AE2=EFED=3×6=18，

∴AE=3 ，

∵△AED∽△HEC，

∴ = = ，

∴AE= AC，

∴AC=9 ，

则AO= ，

故⊙O的半径是 ，GH的长是6．

【解析】（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出 AB×BC= AC×BK，代入即可求得BK．（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE= AC，然后即可求得AC即可．
【考点精析】掌握三角形中位线定理和垂径定理是解答本题的根本，需要知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．