Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．

（1）△BCD的形状为；
（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点F落在边AC上时，若AC=6，请直接写出DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）等边三角形
（2）解：∠DBF的度数不变，理由如下：

∵∠ACB=90°，点D是AB中点，

∴CD= AB=AD，

∴∠ECD=30°．

∵△BDC为等边三角形，

∴BD=DC，∠BDC=60°．

又∵△DEF为等边三角形，

∴DF=DE，∠FDE=60°，

∴∠BDF+∠FDC=∠EDC+∠FDC=60°，

∴∠BDF=∠CDE．

在△BDF和△CDE中， ，

∴△BDF≌△CDE（SAS），

∴∠DBF=∠DCE=30°，

即∠DBF的度数不变

（3）解：过点E作EM⊥AB于点M，如图所示．

在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，

∴AB=2BC，AC= = BC=6，

∴BC=2 ，AB=4 ．

∵△DEF为等边三角形，

∴∠DEF=60°，

∵∠A=30°，

∴∠ADE=30°，

∴DE=AE，

∴AM= AD= × AB= ．

在Rt△AME中，∠A=30°，AM= ，

∴AE=2EM，AM= = EM，

∴EM=1，AE=2，

∴DE=2．

【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC，∠CBD=60°．

∵点D是AB中点，

∴BD=BC，

∴△BCD为等边三角形．

所以答案是：等边三角形．

【考点精析】掌握等边三角形的性质和含30度角的直角三角形是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．