Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．

（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；
（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），

∴ ，

解得 ．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+2 ，

∴对称轴是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B点坐标为（3，0），

∴BC的中点坐标为（1.5，1）

（2）

解：∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，

∴点C1的横坐标为﹣2，

当x=﹣2时，y=﹣ ×（﹣2）2+ ×（﹣2）+2=﹣ ，

∴点C1的坐标为（﹣2，﹣ ），

m=2﹣（﹣ ）=5

（3）

解：①若BC为平行四边形的一边，

∵BC的横坐标的差为3，

∵点Q的横坐标为1，

∴P的横坐标为4或﹣2，

∵P在抛物线上，

∴P的纵坐标为﹣3 ，

∴P1（4，﹣3 ），P2（﹣2，﹣3 ）；

②若BC为平行四边形的对角线，

则BC与PQ互相平分，

∵点Q的横坐标为1，BC的中点坐标为（1.5，1），

∴P点的横坐标为1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的纵坐标为﹣ ×22+ ×2+2=2，

∴P3（2，2）．

综上所述，点P的坐标为：P1（4，﹣3 ），P2（﹣2，﹣3 ），P3（2，2）

【解析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，2）的坐标代入所给抛物线可得a、b的值，进而得到该抛物线的解析式和对称轴，再求出点B的坐标，根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标即可；（2）根据平移的性质可知，点C的对应点C1的横坐标为﹣2，再代入抛物线可求点C1的坐标，进一步得到m的值；（3）B、C为定点，可分BC为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．