Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）；（2）①5，5，=；②结论：PO=PH，理由详见解析;(3)点P坐标（1，）或（﹣1，）．

【解析】

试题分析：（1）把A点的坐标代入y=ax2+1求得a值，即可得函数解析式，根据解析式确定顶点坐标即可；（2）①求出PO、PH即可得结论；②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣m2+1），根据两点之间距离公式分别求得PH、PO长，即可得结论．（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣m2+1），由列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．

（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，

∴PO=PH，

②结论：PO=PH．

理由：设点P坐标（m，﹣m2+1），

∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1

PO==m2+1，

∴PO=PH．

（3）∵BC=，AC=，AB=,

∴BC=AC，

∵PO=PH，

又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，

∴PH与BC，PO与AC是对应边，

∴，设点P（m，﹣m2+1），

∴，

解得m=±1，

∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．