Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．

（Ⅰ）求k取值范围；

（Ⅱ）当k取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；

（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k＞﹣1（Ⅱ）对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）m的值为1或

【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k的取值范围；

（Ⅱ）先求得k的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式，结合函数解析式求此二次函数的对称轴和顶点坐标；

（Ⅲ）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．

试题解析：（Ⅰ）∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△=4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）=16k+16＞0，

∴k＞﹣1，

∴k的取值范围为k＞﹣1；

（Ⅱ）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，

∴k=0，

∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；

（Ⅲ）翻折后所得新图象如图所示，

平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点，

①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），

∴0=﹣1+m，即m=1；

②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，

∴方程x+m=﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m=0有两个相等实根，

∴△=1﹣4（m﹣3）=0，即m=，