Question

【题目】如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，且∠A=∠PDB．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）如图2，点M是 的中点，连接DM，交AB于点N，若tan∠A=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）如图，作辅助线；要证明PD是⊙O的切线，只要证明∠PDO=90°，运用切线的判定定理，即可解决问题．

（2）如图，直接求出的值，非常困难；因此，需要作辅助线，构造相似三角形；运用已知条件tan∠A=，结合图形，联想勾股定理，设出BD=x，求出AB的长度；进而求出DF的长度；运用△OMN∽△FDN，得到，即可解决问题．

试题解析：（1）连结OD；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；

又∵OA=OB=OD，

∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；

又∵∠A=∠PDB，

∴∠PDB+∠BD0=90°，

即∠PDO=90°，且D在圆上，

∴PD是⊙O的切线．

（2）连结OM，过D作DF⊥AB于F；

∵点M是的中点，

∴OM⊥AB；设BD=x，

∵tan∠A=，

∴AD=4x；由勾股定理得：

AB= ；

由三角形的面积公式得： ADBD=ABDF，

∴DF=x；

∵OM∥DF，

∴△OMN∽△FDN，

∴，DF=x，OM=x，

∴．