Question

【题目】如图1，已知直线y=﹣2x+4与两坐标轴分别交于点A、B，点C为线段OA上一动点，连接BC，作BC的中垂线分别交OB、AB交于点D、E．

（l）当点C与点O重合时，DE= ；

（2）当CE∥OB时，证明此时四边形BDCE为菱形；

（3）在点C的运动过程中，直接写出OD的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明详见解析；（3）≤OD≤2．

【解析】

试题分析：（1）画出图形，根据DE垂直平分BC，可得出DE是△BOA的中位线，从而利用中位线的性质求出DE的长度；

（2）先根据中垂线的性质得出DB=DC，EB=EC，然后结合CE∥OB判断出BE∥DC，得出四边形BDCE为平行四边形，结合DB=DC可得出结论．

（3）求两个极值点，①当点C与点A重合时，OD取得最小值，②当点C与点O重合时，OD取得最大值，继而可得出OD的取值范围．

试题解析：解：∵直线AB的解析式为y=﹣2x+4，

∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），即可得OB=4，OA=2，

（1）当点C与点O重合时如图所示，

∵DE垂直平分BC（BO），

∴DE是△BOA的中位线，

∴DE=OA=1；

（2）当CE∥OB时，如图所示：

∵DE为BC的中垂线，

∴BD=CD，EB=EC，

∴∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB，

∴∠DCE=∠DBE，

∵CE∥OB，

∴∠CEA=∠DBE，

∴∠CEA=∠DCE，

∴BE∥DC，

∴四边形BDCE为平行四边形，

又∵BD=CD，

∴四边形BDCE为菱形．

（3）当点C与点O重合时，OD取得最大值，此时OD=OB=2；

当点C与点A重合时，OD取得最小值，如图所示：

在Rt△AOB中，AB==2，

∵DE垂直平分BC（BA），

∴BE=BA=，

易证△BDE∽△BAO，

∴，即，

解得：BD=，

则OD=OB﹣BD=4﹣=．

综上可得：≤OD≤2．