Question

【题目】如图，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE=5，BC﹣AB=3，求四边形AECF的周长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，

∵AC平分∠BAC，FC平分∠BCD，

∴∠DAE=∠BAE，∠DCF=∠BCF．

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF．

∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，

∴AB=BE，DF=CD，

∴BE=DF．

∴AF=EC，又AD∥BC，即AF∥EC，

∴四边形AFCE是平行四边形

（2）由（1）知，AB=BE，DF=CD．

∵BC﹣AB=3，

∴BC﹣BE=EC=3．

又∵AE=5，

∴四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2×（5+3）=16．

【解析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质，证明∠BAE=∠AEB，证明AB=BE，然后证明CD=DF，即可证得AF=CE，证明四边形AECF是平行四边形；（2）利用四边形的周长公式进行解答即可．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．