Question

【题目】提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）

解：EF=GH．

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH

（3）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴

∵EC=2

∴AF=1

过F作FP⊥BC于P，

根据勾股定理得EF= ，

∵FH∥EG，

∴

根据（2）知EF=GH，

∴FO=HO．

∴ ，

，

∴阴影部分面积为 ．

【解析】（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以 ，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF= ，因为FH∥EG，所以 ，根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和正方形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．