Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①y= 当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣ 对称，

∴点B的坐标为1，0）．

②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），

又∵抛物线过点C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=

∴y= x2 x+2．

（2）

解：设P（m， m2 m+2）．

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ= m2 m+2﹣（ m+2）

= m2﹣2m，

∵S△PAC= ×PQ×4，

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，

∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，

此时P（﹣2，3）．

（3）

解：方法一：

在Rt△AOC中，tan∠CAO= 在Rt△BOC中，tan∠BCO= ，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下图：

①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；

②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；

③当点M在第四象限时，设M（n， n2 n+2），则N（n，0）

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4

当 时，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4）

整理得：n2+2n﹣8=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=2

∴M（2，﹣3）；

当 时，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），

整理得：n2﹣n﹣20=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=5，

∴M（5，﹣18）．

综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

方法二：

∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴KAC×KBC=﹣1，

∴AC⊥BC，MN⊥x轴，

若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，

则 ， ，

设M（2t，﹣2t2﹣3t+2），

∴N（2t，0），

①| |= ，

∴| |= ，

∴2t1=0，2t2=2，

②| |= ，

∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，

综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】（1）①先求的直线y= x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC= ×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)，还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键．