Question

【题目】已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根．

(1)求m的值；

(2)求直角三角形的面积和斜边上的高．

Answer 1

【答案】(1)14；(2) 直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8.

【解析】试题分析：由勾股定理得出a2＋b2＝100，然后根据韦达定理分别将a+b、ab用含m的式子表示，再变形为关于m的一元二次方程，解出m再一一验证即可；（2）求直角三角形面积直接利用公式，要求斜边上的高可以利用面积法求解．

试题解析：解：(1)由勾股定理得a2＋b2＝100，

∵a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根，

∴a＋b＝m，ab＝3m＋6.而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝100，

∴m2－2(3m＋6)＝100，解得m1＝14，m2＝－8.

当m＝14时，方程为x2－14x＋48＝0，

方程的两个根x1＝6和x2＝8符合题意；

当m＝－8时，方程为x2＋8x－18＝0，

方程的两个根异号，不可能作为直角三角形两条直角边的长，所以舍去m＝－8.

故m的值为14.

(2)S＝ab＝24.设斜边上的高为h，

则有×10×h＝24，解得h＝4.8.

即直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8.