Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点M、交x轴于点F，当S△BEC=时，请求出点E和点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，当E点的横坐标为1时，在EM上是否存在点N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3;（2）点E的坐标是（1，3）或（2，2）,M的坐标是（1，2）或（2，1）;

（3）存在,N（1， ）或N′（1，-10）．

【解析】试题分析：（1）由直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点C、B的坐标，代入y=ax2+x+c即可得得解；

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，设点E的坐标是（x，﹣ x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），求出EM的长，利用面积即可得解；

（3）存在.分别求出CB，CM的值，进行分类讨论即可得解.

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（3，0）

∵y=ax2+x+c经过B、C两点，

∴

解得

∴y=﹣x2+x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

∴设点E的坐标是（x，﹣ x2+x+3），

则点M的坐标是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC=

=×（﹣x2+x）×3=﹣x2+x=

∴﹣x2+x=，解之得，x1=1，x2=2

即点E的坐标是（1，3）或（2，2）

此时对应的M的坐标是（1，2）或（2，1）．

（3）存在．

易得∠CBE=∠CEF=45 ，CB=，CM=，BE=1，

①当时，△CMN∽△CBE,

即，得MN=，

∴FN=，N（1， ）

②当时，△CMN∽△EBC,

即，得MN=12，

∴FN=-10，N′（1，-10），

∴在EM上是否存在条件的点N，是N（1， ）或N′（1，-10）．