【题目】在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N．

（1）观察图1，直接写出∠AEM与∠BNE的关系是 ；(不用证明)

（2）如图1，当M、N都分别在AB、BC上时，可探究出BN与AM的关系为： ；(不用证明)

（3）如图2，当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式是否仍然成立？若成立，请说明理由：若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由.

参考答案：

【答案】（1）互余（或∠AEM+∠BNE=90 等）;（2）①BN⊥AM ；② BN-AM=2;（3）成立,理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由矩形的对边平行，得∠AEM+∠BNE=90 ；

（2）作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而得到结论；

（3）成立.

试题解析：（1）：互余（或∠AEM+∠BNE=90 等）

（2）①BN⊥AM ；② BN-AM=2

如图，

在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，

作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，

∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，

∴∠AEM=∠FEN，

在Rt△AME和Rt△FNE中，

∴Rt△AME≌Rt△FNE，

∴BM=CN，

∵AD=2AB=4，

∴BC=4，AB=2

∴BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-（BM+AM）=BC-AB=4-2=2

（3）当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式仍然成立.

如图，过E作EF⊥BC于F

∵ 矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点

∴AE=EF=AB=BF=2

∵ ∠AEM+∠MEF=90 ，∠NEF+∠MEF=90

∴∠AEM=∠NEF

∴ Rt△AEM≌ Rt△FEN

∴AM=FN

∴BN-AM= BN-FN=BF= 2

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