Question

【题目】如图，锐角△ABC中，边BC长为3，高AH长为2，矩形EFMN的边MN在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AH于点G．
（1）求的值；
（2）当EN为何值时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．

Answer 1

【答案】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴=；
（2）设EN=x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF=3﹣x，
∵矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一，
∴x（3﹣x）=××3×2，
∴x=1﹣，x=1+，
∴EN为1﹣或1+时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．
【解析】（1）由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到 ， 根据比例的性质即可得到结论；
（2）设EN=x，根据相似三角形的性质得到 ， 代入数据得到 ， 求得EF=3﹣x，根据题意列方程即可得到结论．
【考点精析】掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．