Question

【题目】如图，在⊙O中，将沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．

（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC=　 　°；

（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 30；(2) ∠ABM=2∠ABC，理由见解析.

【解析】

（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；

（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答即可．

（1）∵由折叠可知：∠OBC=∠CBD，

∵点D恰好与点O重合，

∴∠COD=60°，

∴∠ABC=∠OBC=；

故答案为：30；

（2）∠ABM=2∠ABC，理由如下：

作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，

由对称可得∠DBC=∠D'BC，DC=D'C，

连接CO，D'O，AC，

∴∠AOC=2∠ABC，∠D'OC=2∠D'BC，

∴∠AOC=∠D'OC，

∴AC=D'C，

∵DC=D'C，

∴AC=DC，

∴∠CAD=∠CDA，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

设∠ABC=α，则∠CAD=∠CDA=90°﹣α，

∴∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=2α，

即∠ACD=2∠ABC，

∵∠ABM=∠ACD，

∴∠ABM=2∠ABC．